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卡西米爾效應

人氣：2623次發(fā)表時(shí)間：2013-01-04

卡西米爾效應(Casimir effect)就是在真空中兩片平行的平坦金屬板之間的吸引壓力。這種壓力是由平板之間空間中的虛粒子(virtual particle)的數目比正常數目減小造成的。這一理論的特別之處是，“卡西米爾力”通常情況下只會(huì )導致物體間的“相互吸引”，而并非“相互排斥”。

目錄

原理實(shí)驗測量現象探究理論特點(diǎn)實(shí)驗測量卡西米爾效應-熱效應相關(guān)運用展開(kāi)原理實(shí)驗測量現象探究理論特點(diǎn)實(shí)驗測量卡西米爾效應-熱效應相關(guān)運用展開(kāi)

原理

大多數人認為，真空是空蕩蕩的。但是，根據量子電動(dòng)力學(xué)（一門(mén)在非常小的規模上描述宇宙行為的理論），沒(méi)有比這種觀(guān)點(diǎn)更加荒謬的了。實(shí)際上，真空中到處充滿(mǎn)著(zhù)稱(chēng)作“零點(diǎn)能”的電磁能，這正是麥克萊希望加以利用的能量?！傲泓c(diǎn)能”中的“零”指的是，如果把宇宙溫度降至絕對零度（宇宙可能的最低能態(tài)），部分能量就可能保留下來(lái)。實(shí)際上，這種能量是相當多的。物理學(xué)家對究竟有多少能量仍存在分歧，但麥克萊已經(jīng)計算出，大小相當于一個(gè)質(zhì)子的真空區所含的能量可能與整個(gè)宇宙中所有物質(zhì)所含的能量一樣多。
平行板電容器在輻射場(chǎng)真空態(tài)中存在吸引力的現象稱(chēng)為卡西米爾效應?？紤]一個(gè)輻射的電磁場(chǎng)，根據波粒二象性，輻射場(chǎng)可以看作是光子氣，而光子氣可看作是電磁輻射場(chǎng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。電磁場(chǎng)量子化后，可把輻射場(chǎng)哈密頓寫(xiě)成二次量子化的形式。
可見(jiàn)對每個(gè)振動(dòng)模式k，都有零點(diǎn)能（真空能）存在，這個(gè)結果是引入場(chǎng)量子化后的自然結果。由于真空能量的存在可以帶來(lái)實(shí)驗可觀(guān)測的物理效應——卡什米爾效應?？紤]一對距離為a的平行板電容器放在輻射場(chǎng)中，邊界條件為：?？梢?jiàn)隨平行板距離的增大，所允許的振動(dòng)模式越多，因此平行板電容器之間由于真空能量的存在而存在一種吸引力——卡什米爾力。反之如果認為不存在真空能，則沒(méi)有這種力。在具體的計算過(guò)程中，由于U(a)的積分（求和）是發(fā)散的。為得到收斂的結果，數學(xué)上人為地引入一個(gè)切斷因子。

實(shí)驗測量

1948年，荷蘭物理學(xué)家亨德里克·卡西米爾(Hendrik Casimir, 1909-2000)提出了一項檢測這種能量存在的方案。從理論上看，真空能量以粒子的形態(tài)出現，并不斷以微小的規模形成和消失。在正常情況下。真空中充滿(mǎn)著(zhù)幾乎各種波長(cháng)的粒子，但卡西米爾認為，如果使兩個(gè)不帶電的金屬薄盤(pán)緊緊靠在一起，較長(cháng)的波長(cháng)就會(huì )被排除出去。接著(zhù)，金屬盤(pán)外的其他波就會(huì )產(chǎn)生一種往往使它們相互聚攏的力，金屬盤(pán)越靠近，兩者之間的吸引力就越強，這種現象就是所謂的卡西米爾效應。1996 年，物理學(xué)家首次對它進(jìn)行了測定，實(shí)際測量結果與理論計算結果十分吻合。

現象探究

卡西米爾效應

利用自然造福人類(lèi)的想法源于人類(lèi)的一種深刻的、遺傳的本能，因為在遠古時(shí)代環(huán)境是人類(lèi)生存的主要因素。制造出一個(gè)在分子尺度上的微型機械, 如馬達、閥門(mén)、感應器、或者計算機，是科學(xué)家和工程師長(cháng)期以來(lái)的理想。這些微型機械可以植入一個(gè)更大的結構，在人眼不能直接看到的地方進(jìn)行工作，也許是在人的心臟內部，或是在其他隱蔽處。近年來(lái)，人們已經(jīng)制造出一些這樣的機械，如康奈爾大學(xué)的研究者用電子束在硅晶片上雕刻了一把比頭發(fā)絲直徑的二十分之一還細的吉他。由于微型器件的尺寸縮小到了納米量級，卡西米爾力在它們設計和構造中的作用引起了普遍重視。當距離小于幾十納米時(shí)，和其他力相比，卡西米爾力占主導地位。結果，在納米尺度的器件中，卡西米爾力變成了強吸引作用，本來(lái)可移動(dòng)的部件粘結在一起了?？梢苿?dòng)元件坍縮到本來(lái)不動(dòng)的元件上，這不是設計家希望看到的結果。粘結和人們熟悉的毛細作用力一起，對微納系統的結構造成了巨大破壞。因此，人們必須開(kāi)發(fā)具有零或強度大大降低的卡西米爾力系統，目前已從邊界的材料和形狀全方位地對此開(kāi)展探索。
2009年哈佛大學(xué)的研究小組宣布測量到了排斥性的卡西米爾力。他們采用了金、溴苯和硅組成的系統，在材料的光學(xué)誤差范圍內得到了與理論相一致的結果[9]。這個(gè)實(shí)驗告訴人們，只要適當選擇材料的光學(xué)性質(zhì)，由液體所分離的兩固態(tài)界面之間就可能產(chǎn)生排斥性力，從而可以克服微型器件的粘附困難。此外，考慮到在分層結構中或在封閉體積中，卡西米爾力也可以實(shí)現吸引和排斥之間的平衡[10]，即得到具有零卡西米爾力的納米系統。
盡管吸引效應所產(chǎn)生的粘附是一種有害現象，但它也可以通過(guò)起動(dòng)納米構造的硅片而在納米系統中起到有益的作用。電磁場(chǎng)的真空震蕩導致了平板的機械運動(dòng)，給出了第一個(gè)由卡西米爾力驅動(dòng)的機械裝置。類(lèi)似的裝置可用來(lái)證明卡西米爾力對微系統振蕩行為的影響。由于卡西米爾力是非線(xiàn)性的，從而可以用在微納電子機械系統中。
卡西米爾力在納米系統中的另一個(gè)重要應用是與原子－表面相互作用聯(lián)系在一起的。眾所周知，氫的貯存是替代石油的氫動(dòng)能學(xué)的關(guān)鍵所在。由于這個(gè)原因，任何新的氫貯存機制都將非常重要。在氫原子或分子和碳納米結構之間作用的卡西米爾力在吸收現象中起決定性作用。碳納米管是一個(gè)包含幾層同心六邊形的石墨柱殼的納米系統，由于單壁碳納米管對氫貯存的潛在應用，原子和碳納米結構之間的卡西米爾力的研究變得非常緊迫。計算表明，氫原子和分子處于多壁碳納米管內部比外部更優(yōu)先。這個(gè)結果對在碳納米結構中貯存氫賦予了更大的希望，前景誘人。
每當一種革命性的新技術(shù)出現的時(shí)候，常常會(huì )給年輕人帶來(lái)機遇，卡西米爾力在納米機械中的應用必將為年輕人搭建起一個(gè)有聲有色的新舞臺。

理論特點(diǎn)

Experiment setup

卡西米爾效應就是在真空中兩片平行的平坦金屬板之間的吸引壓力。這一理論的特別之處是，“卡西米爾力”通常情況下只會(huì )導致物體間的“相互吸引”，而并非“相互排斥“。我們不是鐵道專(zhuān)家和列車(chē)脫軌研究專(zhuān)家，對兩列火車(chē)在北半球，南北方向并列平行距離很近超高速運行，會(huì )不會(huì )發(fā)生相撞沒(méi)有發(fā)言權。想到火車(chē)相撞中的卡西米爾現象，是由于研究“三旋/弦/圈理論”聯(lián)想到的。三旋/弦/圈這三個(gè)層次，僅是龐加萊猜的層展和呈展，也僅是在計算、應用、理解上的一種方便。如此，分別取“三旋”、“弦論”、“圈量子”的中文拼音第一個(gè)字母的大寫(xiě)S、X、Q，簡(jiǎn)稱(chēng)為SXQ理論，它包含了既有環(huán)量子三旋理論，又有超弦/M理論，還有圈量子引力理論等所曾主要表達的數學(xué)和物理內容。由于有人認為三旋/弦/圈（SXQ）理論難以實(shí)驗檢驗，我們研究卡西米爾現象發(fā)現，環(huán)量子類(lèi)似一個(gè)方板，球量子類(lèi)似一個(gè)方塊，從三維來(lái)說(shuō)，方板有一維是對稱(chēng)破缺的。但正是這種破缺，使環(huán)量子和球量子的自旋如果存在輻射，那么在卡西米爾效應上是可以實(shí)驗檢驗。這種類(lèi)比模型不僅能擴展引力場(chǎng)方程及量子力學(xué)方程求解的思路，豐富正、負時(shí)空聯(lián)絡(luò )的幾何圖象，而且聯(lián)系卡西米爾效應中兩塊板之間零點(diǎn)能的量子漲落差異，還可能揭示宇宙物質(zhì)的起源以及強力、弱力和電磁力等相互作用的秘密。

卡西米爾效應

因為如果把引力聯(lián)結的兩個(gè)星體比作卡西米爾效應中的兩塊板，再把引力場(chǎng)彎曲產(chǎn)生的凹陷圖象分別粘貼在兩塊板相對的一面，引力就類(lèi)似蛀洞的一個(gè)洞口與另一個(gè)蛀洞的洞口相對這片區域的卡西米爾效應量子漲落產(chǎn)生的拉力強度。原因是，雖然這種拉力強度遠小于星體物質(zhì)自身的能量密度，但它們已表現出這片區域內的時(shí)空彎曲，相對要大于平板外側的時(shí)空彎曲，并是這種彎曲產(chǎn)生的拉力。因為按海森伯不確性原理，所謂真空實(shí)際上充滿(mǎn)著(zhù)許多瞬時(shí)冒出又瞬時(shí)消逝的基本粒子，這些基本粒子中的一部分將通過(guò)時(shí)空彎曲的凹面進(jìn)行傳播，結果這里的時(shí)空彎曲變成一種引力的耦合輻射。這里負能量與反物質(zhì)的區別是，反物質(zhì)擁有正的能量，例如當電子和它的反粒子正電子碰撞時(shí)，它們就湮滅，其最終產(chǎn)物是攜帶正能量的伽瑪射線(xiàn)。如果反物質(zhì)是由負能量構成的，那么這樣一種相互作用將會(huì )產(chǎn)生其值為零的最終能量。但不管是哪種情況，最終這里的引力場(chǎng)時(shí)空彎曲輻射差異產(chǎn)生了拉力強度。由此時(shí)空彎曲不僅造成類(lèi)似纖維叢的底流形與纖維的差別，而且也是產(chǎn)生引力和強力、弱力及電磁力等相互作用區別的根本因素。因此求解引力，主要還是應該從愛(ài)因斯坦廣義相對論的引力方程入手。

實(shí)驗測量

1948年，荷蘭物理學(xué)家亨德里克·卡西米爾(Hendrik Casimir, 1909-2000)提出了一項檢測這種能量存在的方案。從理論上看，真空能量以粒子的形態(tài)出現，并不斷以微小的規模形成和消失。在正常情況下。真空中充滿(mǎn)著(zhù)幾乎各種波長(cháng)的粒子，但卡西米爾認為，如果使兩個(gè)不帶電的金屬薄盤(pán)緊緊靠在一起，較長(cháng)的波長(cháng)就會(huì )被排除出去。接著(zhù)，金屬盤(pán)外的其他波就會(huì )產(chǎn)生一種往往使它們相互聚攏的力，金屬盤(pán)越靠近，兩者之間的吸引力就越強，這種現象就是所謂的卡西米爾效應。1996 年，物理學(xué)家首次對它進(jìn)行了測定，實(shí)際測量結果與理論計算結果十分吻合。

卡西米爾效應-熱效應

來(lái)自國家技術(shù)和標準局（NIST）與科羅拉多大學(xué)（University of Colorado）聯(lián)合實(shí)驗室JILA，由諾貝爾獎獲得者Eric Cornell領(lǐng)導的小組第一次證實(shí)了物理學(xué)家Evgeny Lifschitz于1955年預言的溫度可以影響卡西米爾力（Casimir Force）——這是一種當兩個(gè)物體之間距離只有五百萬(wàn)分之一米（大概是一英尺的五千分之一）時(shí)才會(huì )體現出來(lái)的相互吸引力。這項發(fā)現增加了人們對卡西米爾力的理解，并且使得未來(lái)的實(shí)驗可以更好地處理這種效應。
雖然卡西米爾效應非常微弱，但是對于納米以及毫米尺度的電力系統（NEMS:Nano-Electromechanical System&MEMS:Micro-Electromechanical System）而言是非常重要的，卡西米爾力可以將各部件粘合在一起。它使得實(shí)驗桌上的小型實(shí)驗（Tabletop Experimental）無(wú)法探測到除了牛頓引力和粒子物理標準模型預言的相互作用力之外的其它可能存在的微弱相互作用。在這個(gè)小組的實(shí)驗中，研究者們考察了所謂的Casimir-Polder力：在中性原子（Neutral Atom）和附近物體表面之間的相互吸引力。他們將超冷銣原子（Ultracold Rubidium Atom）放置在離玻璃表面只有幾微米（Micron）的地方。在將玻璃的溫度升高到原來(lái)的兩倍、也就是600開(kāi)爾文的同時(shí)保持環(huán)境溫度在室溫左右，這使得玻璃對于原子的吸引力增加了三倍左右，這個(gè)結果證實(shí)了由來(lái)自意大利特蘭托（Trento）的理論合作者最近提出的理論預言。
這些現象到底是怎么回事呢？卡西米爾力是真空效應的體現。按照量子力學(xué)理論，真空中每時(shí)每刻到處都充滿(mǎn)了稍瞬即逝的電磁波，這些電磁波是由電場(chǎng)和磁場(chǎng)組成的。電場(chǎng)會(huì )對原子中的電荷產(chǎn)生擾動(dòng)，使之重新分布，也就是說(shuō)會(huì )使得原子極化。這種極化的原子會(huì )受到來(lái)自電場(chǎng)的作用力。由于玻璃的存在，真空中的電場(chǎng)分布會(huì )被改變，產(chǎn)生電場(chǎng)最大的區域，這就會(huì )吸引極化的原子。另外，在玻璃內部的熱同樣會(huì )產(chǎn)生逃離（fleeting）的電磁波，其中有一部分會(huì )滲出玻璃的表面而成為“消逝波”（Evanescent Wave）。這些消逝波中的電場(chǎng)分量在玻璃的表面達到極大，從而增加對極化原子的吸引力。除玻璃之外的周遭環(huán)境中由于熱產(chǎn)生的電磁波通常會(huì )抵消玻璃表面由于內部熱量導致的吸引力。但是提高玻璃的溫度可以使得玻璃內部熱量產(chǎn)生的吸引力居于主導地位，從而增加玻璃和原子之間的吸引力。

相關(guān)運用

根據量子場(chǎng)論，任何振動(dòng)物體都會(huì )被真空中的虛粒子減速。5月26日的《Physical Review Letters》雜志上，物理學(xué)家們提出一種方案，通過(guò)一端振動(dòng)的反射腔探測這種效應，光子在反射腔中反彈，并且被超冷原子放大。這個(gè)實(shí)驗是從技術(shù)上說(shuō)可行的、能夠直接觀(guān)察到虛粒子對運動(dòng)物體作用的方法。量子場(chǎng)論認為，真空中充滿(mǎn)了虛光子，這種光子以恒定的速度不斷產(chǎn)生和湮滅。虛光子的一種可觀(guān)測效應是兩個(gè)間隔納米距離的物體之間的卡西米爾效應。當一個(gè)物體快速振動(dòng)時(shí)，會(huì )產(chǎn)生這種很弱的動(dòng)力學(xué)卡西米爾效應：在一個(gè)理想界面上沒(méi)有平行電場(chǎng)和垂直磁場(chǎng)，而在它周?chē)鷦t充滿(mǎn)了虛光子產(chǎn)生的電磁場(chǎng)。當這個(gè)界面前后運動(dòng)時(shí)，電磁場(chǎng)發(fā)生規律性變化，也就是產(chǎn)生了光子。界面的振動(dòng)能釋放出來(lái)，振動(dòng)受到阻力。
美國達特茅斯學(xué)院和意大利帕多瓦大學(xué)的Roberto Onofrio說(shuō)，這個(gè)效應產(chǎn)生的光子數量非常少，所以唯一能夠探測到光子的方法是使用共振腔，把光子聚集到一起放大。Onofrio和同事們通過(guò)振動(dòng)共振腔一端的膜把光子束縛在腔內，就像是鼓一樣。研究人員們首先需要找到一種機械設備來(lái)放大光子。他們能夠找到的氮化鋁薄膜能夠使光子頻率最大放大到3吉赫茲。因為振動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的都是能量相同的光子對，所以每個(gè)光子的頻率為1.5吉赫茲，處于微波波段。雖然光子的數量少、能量低，很難被觀(guān)察到，但是研究人員們通過(guò)原子的超冷態(tài)（玻色-愛(ài)因斯坦凝聚態(tài)）可以放大光子能量。1.5吉赫茲的能量正好是鈉原子中兩條能級間的能量差。為了放大卡西米爾光子的能量，鈉的玻色-愛(ài)因斯坦態(tài)首先被激光激發(fā)到較高能級，然后利用卡西米爾光子轟擊它，玻色-愛(ài)因斯坦態(tài)整體退激發(fā)到較低能級，放出大量光子。這個(gè)效應稱(chēng)為超輻射，在其它過(guò)程中也觀(guān)察到過(guò)，它可以把卡西米爾光子信號放大十億倍。Old Dominion大學(xué)的Charles Sukenik說(shuō)：“如果這個(gè)實(shí)驗成功的話(huà)，它將證明量子力學(xué)真空不僅僅只是一個(gè)為了理論方便而構造的概念?！?/span>

研究進(jìn)展

卡西米爾效應最吸引人的地方就是真空不空，能量與物質(zhì)可以相互轉化。經(jīng)典的卡西米爾效應試驗是將兩片金屬箔放置在很近的位置，當金屬箔之間的距離小于真空中的虛粒子的波長(cháng)時(shí)，長(cháng)波排除，金屬箔外的其他波就會(huì )使靠攏。兩者距離越近，吸引力越大。這已經(jīng)在1996年為試驗所證實(shí)。即將出版的Physical Review Letters上講，Ho Bun Chan（University of Florida）將卡西米爾效應應用到了計算機芯片的設計上。早在2001年，HoBun Chan就設計了一個(gè)納米杠桿，將一張極薄的金箔靠近一個(gè)極小的金球，當兩者距離<300納米的時(shí)候，兩者就會(huì )吸引。作用力的大小與距離相關(guān)，這樣就可以利用另一端做微觀(guān)世界的測力計。
Ho Bun Chan也證明如果將金箔換為硅片，同樣的效應也會(huì )發(fā)生。因此對計算機芯片的設計也具有指導意義。因為芯片廠(chǎng)會(huì )發(fā)現當硅片上的元件小到一定尺度，他們就會(huì )沾到一起。然而更有意思的是，卡西米爾效應還有可能成為排斥力。根據Lifshitz（也就是Landau的理論物理學(xué)講義的合作者）如果將金屬箔和真空換為適當的物質(zhì)和液體，吸引力就可以變?yōu)榕懦饬?。哈佛大學(xué)的Capasso博士正帶領(lǐng)他的小組在向這個(gè)方向努力。因為如果這種天然的排斥力可以形成，我們就可以制造沒(méi)有摩擦力的微觀(guān)軸承了。

來(lái)自真空的力量

卡西米爾效應

卡西米爾效應：來(lái)自真空的力量
影像提供及版權：Umar Mohideen (U. California at Riverside)
說(shuō)明：這顆小圓球提供了宇宙將一直膨脹下去的證據。這顆直徑稍比百分之一公分大的球，會(huì )在真空能量起伏的感應下，移向表面平坦的平滑區域。這種吸引力被稱(chēng)為卡西米爾效應，它的發(fā)現者在五十年前提出這種效應，目的在了解為什么像蛋黃醬一樣的液體，流動(dòng)的速度為何會(huì )如此的慢。不過(guò)現在已經(jīng)有相當多的證據顯示，宇宙中大部份能量密度的形態(tài)仍然未知，目前暫時(shí)被稱(chēng)為是暗能量。雖然目前對暗能量的形態(tài)和起源幾乎完全未知，不過(guò)科學(xué)家認為它可能和空間本身所產(chǎn)生的真空起伏有關(guān)，或者說(shuō)與卡西米爾效應有關(guān)聯(lián)。這種巨大但神秘的暗能量，在重力上會(huì )排斥所有的物質(zhì)，因此可能會(huì )造成宇宙不停地膨脹的結果。了解真空起伏，是現在科學(xué)研究的最前緣課題，它不但有助于我們更了解我們的宇宙，也可以幫助我們找出防止微機械零件粘著(zhù)在一起的方法。

通過(guò)卡西米爾效應研究量子真空虛光子

根據量子場(chǎng)論，任何振動(dòng)物體都會(huì )被真空中的虛粒子減速。5月26日的《Physical Review Letters》雜志上，物理學(xué)家們提出一種方案，通過(guò)一端振動(dòng)的反射腔探測這種效應，光子在反射腔中反彈，并且被超冷原子放大。這個(gè)實(shí)驗是從技術(shù)上說(shuō)可行的、能夠直接觀(guān)察到虛粒子對運動(dòng)物體作用的方法。
量子場(chǎng)論認為，真空中充滿(mǎn)了虛光子，這種光子以恒定的速度不斷產(chǎn)生和湮滅。虛光子的一種可觀(guān)測效應是兩個(gè)間隔納米距離的物體之間的卡西米爾效應。當一個(gè)物體快速振動(dòng)時(shí)，會(huì )產(chǎn)生這種很弱的動(dòng)力學(xué)卡西米爾效應：在一個(gè)理想界面上沒(méi)有平行電場(chǎng)和垂直磁場(chǎng)，而在它周?chē)鷦t充滿(mǎn)了虛光子產(chǎn)生的電磁場(chǎng)。當這個(gè)界面前后運動(dòng)時(shí)，電磁場(chǎng)發(fā)生規律性變化，也就是產(chǎn)生了光子。界面的振動(dòng)能釋放出來(lái)，振動(dòng)受到阻力。
美國達特茅斯學(xué)院和意大利帕多瓦大學(xué)的Roberto Onofrio說(shuō)，這個(gè)效應產(chǎn)生的光子數量非常少，所以唯一能夠探測到光子的方法是使用共振腔，把光子聚集到一起放大。Onofrio和同事們通過(guò)振動(dòng)共振腔一端的膜把光子束縛在腔內，就像是鼓一樣。研究人員們首先需要找到一種機械設備來(lái)放大光子。他們能夠找到的氮化鋁薄膜能夠使光子頻率最大放大到3吉赫茲。因為振動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的都是能量相同的光子對，所以每個(gè)光子的頻率為1.5吉赫茲，處于微波波段。
雖然光子的數量少、能量低，很難被觀(guān)察到，但是研究人員們通過(guò)原子的超冷態(tài)（玻色-愛(ài)因斯坦凝聚態(tài)）可以放大光子能量。1.5吉赫茲的能量正好是鈉原子中兩條能級間的能量差。為了放大卡西米爾光子的能量，鈉的玻色-愛(ài)因斯坦態(tài)首先被激光激發(fā)到較高能級，然后利用卡西米爾光子轟擊它，玻色-愛(ài)因斯坦態(tài)整體退激發(fā)到較低能級，放出大量光子。這個(gè)效應稱(chēng)為超輻射，在其它過(guò)程中也觀(guān)察到過(guò)，它可以把卡西米爾光子信號放大十億倍。
Old Dominion大學(xué)的Charles Sukenik說(shuō)：“如果這個(gè)實(shí)驗成功的話(huà)，它將證明量子力學(xué)真空不僅僅只是一個(gè)為了理論方便而構造的概念?！?/span>

卡西米爾效應

卡西米爾所做的研究是針對二次量子化的電磁場(chǎng)。若其中存在一些大塊的物體，可為金屬或介電材料，做成一如經(jīng)典電磁場(chǎng)所須遵從的邊界條件，這些相應的邊界條件便影響了真空能量的計算。
舉例來(lái)說(shuō)，考慮金屬腔室中電磁場(chǎng)真空期望值的計算；這樣的金屬腔實(shí)例如雷達波腔或微波波導。這樣的例子中，正確找出場(chǎng)的零點(diǎn)能量的方法是將腔中駐波能量加總起來(lái)。每一個(gè)可能的駐波對應了一種能量值；例如，第n個(gè)駐波的能量值是En。腔室中電磁場(chǎng)的真空期望值則為：
此和是對所有可能駐波的n加總起來(lái)。1/2的因子反映出被加總的是零點(diǎn)能量(此1/2與方程的1/2相同)。以這樣方式寫(xiě)出，很明顯地和會(huì )發(fā)散；然而也是可以將它寫(xiě)成有限值的表示。
特別來(lái)說(shuō)，可能會(huì )有人問(wèn)為何零點(diǎn)能量會(huì )和腔室形狀s相依？原因是：每個(gè)能階都和形狀相依，因此應該將能階以及真空期望值寫(xiě)成形狀s的函數。再此可以得到一項觀(guān)察：在腔室壁上每個(gè)點(diǎn)p的力等同于壁形狀s出現微擾時(shí)的真空能量變動(dòng)，這樣的形狀微擾可寫(xiě)為δs，是位置點(diǎn)p的函數。因此得到：
此值在許多實(shí)際場(chǎng)合是有限的。

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